Quando cidade não é City

"The Ideal City" of the Renaissance by Fra Carnevale. Oil and tempera painting (c1480). Panel in the Walters Art Museum

Existem relativamente poucos nomes de cidades que incluem a palavra City.  Nos Estados Unidos,  há New York City, Oklahoma City, Salt Lake City, Oregon City,  Lake Havasu City, Prairie City, etc.  City começa com maiúscula aqui porque faz parte de um nome próprio.  Fora essas exceções, porém, não acrescentamos City ao nome de uma cidade.  Por exemplo, I live in Goiânia.  Eu não moro em Goiânia City.  A capital do estado de São Paulo não é São Paulo City -  é simplesmente São Paulo.  

A propósito, em inglês, morar e viver são um verbo só: to live.  Eles moram no Brasil.  They live in Brazil.   Ele vive muito bem.  He lives very well.   

Em Londres, City tem um significado único.  Como relata Wikipédia,

A Cidade de Londres (em inglês: City of London, ou simplesmente City) é uma pequena área dentro da Grande Londres. É o centro financeiro e histórico de Londres.

Com 8,6 mil habitantes, a City é o núcleo da Grande Londres (esta um aglomerado de diversas cidades). Sua área é de apenas 2,6 quilômetros quadrados - ou aproximadamente uma milha quadrada, razão pela qual é referida como "The Square Mile".

A City é o principal centro financeiro da Europa. 

Em documentos oficiais, como certidões de nascimento ou escrituras,  City of é usado para mostrar que se trata de um município e não de um county (condado, uma  comarca ou distrito englobando várias cidades e zonas rurais) nem de um estado.  

Também usamos City of + o nome da cidade para nos referirmos a uma prefeitura. Por exemplo,  The City of Orange, California seria a prefeitura de Orange, California, uma cidade perto de Los Angeles.  Preciso de um alvará da prefeitura. I need a building permit from the city.   Ele trabalha na prefeitura.  He works for the city.  Neste contexto, a gente vê também o adjetivo municipal.  Obrigações municipais = municipal bonds.  A prefeitura = the municipal government ou municipality (mas no dia-a-dia city é muito mais usado).    

Como muitos substantivos, city pode atuar como um adjetivo.  Planejamento Urbano = City Planning.  Ele gosta da vida urbana.  He enjoys city life.  Foi candidato à Câmara Municipal.  He was a candidate for City Council.   Um vereador = a city councilman; uma vereadora = a city councilwoman.  Cadeia Municipal = City Jail.