Um amigo meu is a friend of mine

Possessivos são uma parte importante de uma língua e já tocamos nalguns aspectos deles aqui: http://georgeroberts.blogspot.com.br/2011/06/o.html e http://georgeroberts.blogspot.com.br/2011/11/its-isnt-its.

Dois possessivos? Como assim?  Para quê?

 Não é permitido colocar um artigo (the, a) ou demostrativos (this, that, these, those) antes de um adjetivo possessivo (my, your, his, her, its, our, their) ou substantivo + 's.  As regras não permitem que expressões como *The my book  O meu livro
*Those John's friends  Aqueles amigos do John
*A your colleague Um seu colega

sejam corretas. Regras são regras, afinal.  A solução é usar

A, an, the, this, that, these, those +substantivo + of + possessivos com ´s para substantivos ou + pronomes possessivos (mine, yours, his, hers, its, ours, theirs).    A good friend of hers.   

O uso destes pronomes possessivos depois de of tem uma certa lógica.  Afinal, são possessivos que não são seguidos de substantivos.  Portanto, tem que ser pronomes.

Eis alguns exemplos:
A colleague of yours (pronome possessivo): Um colega seu
Those friends of Mary's (possessivo de um substantivo com 's): Aqueles amigos da Mary
That kitten of theirs (pronome possessivo): Aquela gatinha deles
Those noisy kids of Bill and Nancy's Aqueles filhos barulhentos do Bill e da Nancy
An old, dear friend of mine Um velho, muito querido amigo meu

Na situação referida acima, o uso de substantivo + of +  's ou pronome possessivo é obrigatório.  Mas com outros determinantes (palavras como some, a few many, a lot of, números), o genitivo ou possessivo duplo é possível mas não indispensável.

Uso não obrigatório do genitivo duplo 

Determinante + of + adjetivo possessivo + substantivo.  A lot of my friends = a lot of friends of mine ou a lot of my friends
O alternativo ao genitivo duplo é a construção some/a few/many/a lot of/ five/ dozens/ + of + adjetivo possessivo +substantivo.   Vamos ver alguns exemplos:
Alguns amigos meus  Some of my friends OU Some friends of mine
Muitos carros dos Smiths Many of the Smiths' cars  OU Many cars of the Smiths'
Cinco amigos de vocês Five of your friends OU Five friends of yours

É possível usar substantivo + of possessivo sem determinante nenhum.
Amigos nossos =  friends of ours

De uma forma geral, quando se coloca o possessivo depois do substantivo em português, se usa a estrutura + of + possessivo em inglês.  Quando o possessivo vem antes,  usa-se a estrutura possessivo + substantivo em inglês.
Eles são colegas nossos.  They are co-workers of ours.    Eles são nossos colegas.  They are our coworkers.

Exemplos:

Agora alguns exemplos destas combinações em frases, tiradas do Corpus of American English da Brigham Young University:
Mark Zuckerberg started Facebook with a thousand dollars, 
a thousand-dollar donation from a friend of his.  
Mark Zuckerberg iniciou o Facebook com mil dolares, 
uma doação de mil dólares de um amigo seu. 

I asked a few friends of mine, you know, who are not in the
 news business what their reaction was.
Perguntei alguns amigos meus, sabe, que não trabalham no
 jornalismo, como foram suas reações.

You know how much they want for that book of his? Five dollars!
Você sabe quanto que estão pedindo por aquele livro dele?  Cinco dólares!

Santorum is not criticizing any particular policy of Obama's.
Santorum não está criticando nenhuma política em particular do Obama.