There, they're e their.

Tanto there como they're e their  tem a mesma pronúncia para a maioria dos falantes nativos de inglês. Th, que apesar das duas letras é um som só,  é feito colocando a ponta da língua entre os dentes, ligando a voz, e soprando.  A vogal é a mesma que se usa em air, fair, mare, e pear.  São exemplos de homônimos, palavras que tem a mesma pronúncia  com significados e soletramentos diferentes.  Felizmente o contexto torna claro qual dessas três palavras está sendo usada.  

They are = They're

They're pode ser seguido de várias categorias gramaticais.  
Advérbios: They're here.  Eles estão aqui.
Frases preposicionais:  They're in New York.  Estão em Nova Iórque.   They're with him.  Estão com ele.
Verbo + ing:  They're coming tomorrow.  Estão vindo amanhã.
Adjetivos:  They're tired and hungry.  Estão cansados e com fome.
Particípios passados: They're tested every Monday.  Eles são testados toda segunda-feira.
Substantivos:  They're teachers.  Elas são professoras.   They're Mike and Gwen.  Eles são Mike e Gwen.
Not (para ênfase):  They're not here.  Eles não estão aqui.

Their = seu, deles

Their é um adjetivo possessivo que sempre vem antes de um substantivo. Esse substantivo pode ser um sujeito ou objeto de uma frase ou objeto de uma preposição.    Their teachers loved them.  Os professores deles os amavam.  Someone stole their car.  Alguém roubou o carro deles.  John and Mary bought a present for their mother.  John e Mary comprou um presente para a mãe deles.

Uma das formas que podem seguir they're é um substantivo e their sempre vem antes de um substantivo, mas isso não cria nenhum problema devido ao contexto.
They're teachers.  Elas são professoras. Trata-se de uma frase completa.  A voz sobe até a sílaba teach e depois desce.
Their teachers....   Os professores deles.  Esta combinação pode iniciar uma frase mas falta um verbo para que seja uma frase completa.

There - lá, sujeito de haver

There tem duas funções principais.  Pode ser um advérbio que significa não aqui.  There faz as vezes de dois advérbios em português: aí (perto de você) e ali (não perto de mim ou você, mas perto de uma terceira pessoa).  Bill is over there.  O Bill está ali.  There, it's easy to find a job.  Lá, é fácil encontrar um emprego.  I like it there.  Gosto de lá.

There também faz parte do equivalente inglês de haver ou ter.  There are three women in the room.  Há três mulheres no quarto.  Aqui, there are = há.  Quantos habitantes há no município de Goiânia?  How many inhabitants are there in the municipality of Goiânia?  There are one point five million.  Hà um milhão e meio.    There com este significado sempre vem acompanhado de alguma forma do verbo to be.  There is/There are = Há.  There was/were = Houve ou havia.  Haverá = there will be.  Vai haver aulas amanhã?  Will there be classes tomorrow?

Não tem como confundir there, their, e they're, tanto é que podem ser usados juntos na mesma frase sem qualquer mal-ententido:

They're teachers there.  Eles são professores lá.
They're their books over there!  Eles são os livros deles ali!
They're there with their friends.  Eles estão ali com seus amigos.